●◆⬟ Calcularea

Aplicamos la fórmula que utiliza la base (b) y la altura (h):

Luego el área de cada uno de los dos triángulos es \(9\text{ cm}^2\).

Se trata de dos triángulos cuyas bases y alturas miden los mismo, por lo que tienen la misma área. Sin embargo, los otros lados no miden lo mismo.

El triángulo de la izquierda es isósceles (dos lados iguales) y el de la derecha es escaleno rectángulo (lados distintos y un ángulo recto).

Como el triángulo es equilátero, todos sus lados miden lo mismo: 2 cm.

Es más fácil aplicar la fórmula que usa el semiperímetro (fórmula de Herón) que calcular la altura:

donde

• \(s\) es el semiperímetro (la mitad del perímetro) y
• \(a\), \(b\) y \(c\) son los lados del triángulo.

Calculamos el semiperímetro:

Como los lados miden lo mismo, las diferencias de la fórmula dan el mismo resultado:

Aplicamos la fórmula de Herón:

Si solo 2 lados de un triángulo miden lo mismo, entonces se trata de un triángulo isósceles:

La altura \(h\) divide el triángulo en 2 triángulos rectángulos iguales:

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

Sabemos que \(L=1\), así que

Ahora supongamos que \(b=2\), porque \(b\) es el otro lado y se supone que mide 2 centímetros. Entonces, tendríamos

Es evidente que la altura \(h\) no puede ser 0, porque entonces no existiría el triángulo.

En efecto, el semiperímetro del supuesto triángulo sería

Aplicamos la fórmula de Herón para calcular el área del supuesto triángulo:

El área del triángulo sería \(0\) (porque no tiene altura y, por tanto, no sería un triángulo).

Vamos a estudiar cuál de los tres lados es la hipotenusa \(h\) ayudándonos de la fórmula de Pitágoras:

Si la hipotenusa es \(h = 1\), entonces tendríamos una falsedad:

Si la hipotenusa es \(h = \sqrt{3}\), entonces tendríamos una falsedad:

Si la hipotenusa es \(h = 2\), entonces no tenemos ningún problema:

Por tanto, el triángulo del problema es

Podemos construir un triángulo equilátero con dos triángulos como el anterior:

Este triángulo es equilátero porque sus tres lados miden lo mismo. Además, su área es el doble del triángulo del triángulo inicial (porque se usan dos triángulos iguales).

Por tanto, el triángulo buscado en el problema es el triángulo equilátero de lado 2 centímetros.

Otra forma de resolver el problema es usar la fórmula del problema siguiente, que es el área de un triángulo equilátero de lado \(L\):

Calculamos el área del triángulo rectángulo de lados \(1\), \(2\) y \(\sqrt{3}\), que sabemos que tiene base \(1\) y altura \(\sqrt{3}\):

El doble de esta área es

Sustituimos esta área en la fórmula del triángulo equilátero para calcular su lado:

Luego, aplicando la fórmula, el triángulo equilátero cuya área es el doble del buscado es el de lado 2 centímetros, como vimos anteriormente.

Los tres lados de un triángulo equilátero miden lo mismo: \(L\) en nuestro caso.

Podemos calcular el área a partir de la fórmula de Herón:

Como \(a = b = c = L\), entonces el semiperímetro del triángulo es

Además,

Calculamos \(s-L\) (restando fracciones):

Calculamos el área:

La fórmula general del área de un triángulo a partir de su base \(b\) y su altura \(h\) es

Ahora vamos a buscar una fórmula para calcular la base a partir de la altura y sustituirla en la fórmula anterior. Nos ayudaremos de las propiedades propias de los triángulos equiláteros.

La altura del triángulo equilátero lo divide en dos triángulos rectángulos iguales:

Aplicando el teorema de Pitágoras:

Aislamos la base \(b\):

Sustituimos la fórmula obtenida en la del área:

Por tanto, el área de un triángulo equilátero de altura \(h\) es

La fórmula general del área de un triángulo es

Como desconocemos la altura \(h\), vamos a buscar una fórmula para calcularla.

La altura divide el triángulo en dos triángulos rectángulos:

Aplicamos Pitágoras:

Aislamos la altura \(h\):

Sustituimos en la fórmula del área:

Podemos operar un poco más:

Por tanto, la fórmula del área que buscamos es

Si en lugar de aislar la \(h\) aislamos la \(b\), obtenemos la fórmula del área a partir de su altura:

En el problema anterior obtuvimos la fórmula para calcular el área a partir de la base \(b\) y el lado \(L\):

Podemos aislar la \(L\) en la fórmula anterior:

Por tanto, el lado \(L\) en función de el área y de la base es

Anteriormente obtuvimos la fórmula para calcular el área a partir de la altura \(h\) y el lado \(L\):

Aislamos \(L\) en la fórmula anterior:

Por tanto, haciendo la raíz cuadrada, tenemos la formula buscada:

Demostración en Herón de Alejandría y la fórmula de Herón.