●◆⬟ Calcularea

$$ \begin{array}{rcl} \text{Área:} & A = & \frac{L^2}{4}\cdot \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \\ \text{Área:} & A = & 5a^2\cdot\sqrt{5-2\sqrt{5}} \\ \text{Área:} & A = & 5r^2\cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{32}} \end{array} $$

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• Fórmulas que utiliza la calculadora
• Problemas resueltos sobre el pentágono regular

●◆⬟ Calculadora del área

Rellenar únicamente 1 hueco y presionar el botón CALCULAR. Las operaciones se muestran debajo.

Lado:	\(L\) =
Perímetro:	\(P\) =
Radio:	\(r\) =
Apotema:	\(a\) =
Área	\(A\) =

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●◆⬟ Fórmulas

• \(L\) es el lado: hay 5 lados y miden lo mismo.
• \(P\) es el perímetro: suma de las longitudes de los lados.
• \(r\) es el radio de la circunferencia circunscrita (circunferencia que pasa por todos los vértices del pentágono).
• \(a\) es la apotema: distancia de los lados al centro del pentágono.

●◆⬟ Problemas resueltos

A continuación, resolvemos algunos problemas teóricos sobre el pentágono regular.

Problema 1

Hallar la fórmula del área del pentágono regular a partir de la longitud de sus lados, \(L\):

Ayuda: los ángulos interiores entre los lados del pentágono regular son de \(108^{\circ}\) y $$ tg(54^{\circ}) = \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}$$

Solución:

Tenemos que aplicar trigonometría básica para calcular el área. También usaremos la fórmula del área del triángulo (la mitad de la base por altura).

Consideremos el pentágono regular de lado \(L\):

Podemos dividir el pentágono en 10 triángulos rectángulos, cuyos catetos miden \(a\) y \(L/2\) y con hipotenusa \(r\), siendo \(a\) la apotema del pentágono:

Los 10 triángulos son triángulos rectángulos:

Nota: el ángulo es de 54 grados porque es la mitad de uno de los ángulos interiores del pentágono (que son de 108 grados).

El área de este triángulo es

Como el pentágono está formado por 10 de estos triángulos, su área es

Sólo falta que calculemos la altura \(a\) del triángulo y esto es muy sencillo aplicando trigonometría básica:

Por tanto, la altura del triángulo (o apotema del pentágono) es

Finalmente, sustituimos \(a\) en la fórmula del área que teníamos del pentágono:

Podemos operar un poco para tener la forma exacta de la fórmula del enunciado del problema introduciendo el 5 dentro de la raíz cuadrada:

Por tanto,

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Problema 2

Hallar una fórmula para calcular la apotema del pentágono regular de lado \(L\) a partir de \(L\).

En el problema anterior ya hemos calculado la apotema en función del lado:

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Problema 3

Hallar una fórmula para calcular el radio \(r\) de la circunferencia circunscrita dado el lado \(L\) del pentágono regular o dada su apotema \(a\):

Solución:

La hipotenusa de los 10 triángulos rectángulos iguales que conforman el pentágono regular (vistos en el problema 1) coincide exactamente con el radio de la circunferencia circunscrita. Por esta misma razón, en el problema 1 hemos denotado la hipotenusa por \(r\).

Aplicando trigonometría básica,

De donde,

Por tanto, el radio en función de la apotema es

También vimos en el problema 1 que, aplicando trigonometría básica,

De donde,

Sustituimos en la fórmula anterior:

Operando podemos obtener una fórmula más corta como la siguiente:

O la siguiente:

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